Mediante
un instrumento matemático sencillo y propiedades básicas de
las
fluctuaciones cuánticas del vacío descubrimos su estructura oculta.
Using a simple mathematical tool and a basic
properties of quantum
vacuum fluctuations discover its hidden structure.
PACS: 05.45.Df , 03.65.-w
, 42.50Lc.
A veces lo más
sorprendente es lo que ocurre cada día. La transparencia del
vacío, por ejemplo, que
todo el mundo da por natural y lógica, puede que no lo
sea tanto. Sobre todo si
consideramos las tremendas energías asociadas al
vacío cuántico. A la menor
distancia posible,10-35metros, llamada longitud de
Planck, se le asocia una
masa del orden de 2x 10-5 gramos. Si mantuviéramos
la misma relación y
asignáramos la masa correspondiente a un metro, nos
encontraríamos con la
friolera de 1.2 x 1024 toneladas. Pero las
fluctuaciones
cuánticas del vacío están
acotadas y dependen del inverso de la distancia: esa
es la razón de que
observemos el vacío transparente y completamente vacío.
El cuanto de acción es el
responsable de la energía asociada al vacío, de sus
fluctuaciones cuánticas.
Su extremada pequeñez nos permite ver nuestro
mundo cotidiano con una
apariencia continua, como la textura de una película
fotográfica con grano
extremadamente fino. Así podemos distinguir entre las
propiedades macroscópicas
de la materia, que rigen nuestra vida habitual, y las
microscópicas o cuánticas
que determinan el comportamiento del mundo
corpuscular.
Geometría determinada
por la energía del vacío
Las fluctuaciones de energía
determinan la propia geometría del espacio. No
son simples variaciones sobre un fondo
fijo y estable, por lo que analizando su
estructura podremos averiguar algo más
sobre la referencia espaciotemporal
que determinan. Por una parte son no diferenciables, hasta el punto de que son la
causa directa de la desaparición del
concepto clásico de trayectoria continua en
el vacío. Por otra parte su estructura
es auto semejante a cualquier escala:
Si tomamos cualquier distancia mayor
que la distancia de Planck, por pequeña
que sea (diámetro atómico, por
ejemplo) y cualquier otra distancia de orden
cósmico (diámetro de un cúmulo
estelar), a una distancia doble le
corresponderá una energía del vacío
mitad, y a una distancia mitad una
energía del vacío doble (inverso de la
distancia).
En base a estas simples propiedades
consideraremos una hipótesis de trabajo:
que la estructura asociada a la
energía del vacío de las fluctuaciones cuánticas
es fractal y trataremos de estudiar sus
características.
Dimensión fractal
La característica más especial de los
fractales es su dimensión. Siempre es
positiva y superior a su dimensión
topológica. En cierta manera, de forma
intuitiva nos indica la dimensión del
espacio que son capaces de ocupar. Una
cuartilla es un ejemplo de objeto de
dimensión topológica 2, pero si la
arrugamos conseguimos que ocupe un
espacio de mayor dimensión, entre 2 y
3 (normalmente fraccionario). Lo mismo
ocurre con una línea (dimensión 1) que
si la hacemos lo suficientemente
intrincada e irregular es capaz de ocupar un
plano (dimensión 2) e incluso un
espacio (dimensión 3). Si la línea llega a
ocupar el plano su dimensión fractal
será 2 y si ocupa el espacio tridimensional,
su dimensión fractal será 3. Conforme
mayor sea su dimensión fractal, más
intrincado e irregular será el
fractal: a su dimensión topológica se le suma un
coeficiente dimensional que completa
el valor de su dimensión. Este
coeficiente, normalmente fraccionario,
nos indica el grado de irregularidad del
fractal.
Dependencia espacial
en los fractales
La líneas fractales gozan de una
característica notable con relación a su
dependencia espacial: una línea
fractal capaz de recubrir el plano, para
alejarse de cualquier punto arbitrario
una distancia efectiva L debe recorrer
una distancia media L2. A
otra línea fractal capaz de llenar el espacio le ocurre
algo similar: para alejarse de
cualquier punto arbitrario una distancia efectiva L,
deberá recorrer, como media, una
distancia total L3. Es decir, el valor de los
exponentes 2 y 3 se corresponde con
las dimensiones fractales de las líneas.
Sabiendo la dimensión del fractal
podemos calcular su dependencia espacial y
a la inversa. Lo que ocurre con las
curvas fractales (dimensión topológica 1) lo
podemos generalizar a cualquier
estructura fractal (isotrópica) con mayor dimensión
topológica, dividiendo su dimensión
fractal por su dimensión topológica.
Reducimos así la dispersión de
resultados y encontramos más fácilmente
símiles con ejemplos sencillos como
trayectorias unidimensionales. A este
cociente le llamaremos dimensión
fractal relativa:
Dim. frac. relativa = (dimens.
topológica+ coef. dimensional )/(dimens. topológica).
En nuestro caso conocemos que la
energía asociada al vacío depende
inversamente de la distancia (L-1).
Si fuera una simple línea (dimensión 1)
encontraríamos que su dimensión
fractal sería -1, pero como la energía es una
magnitud tridimensional su dimensión
fractal será -3, lo que obedece a un
coeficiente dimensional negativo e igual a -6.
Tanto la dimensión
fractal como el coeficiente dimensional negativos son
resultados anómalos
que obedecen a una causa sorprendente que
estudiaremos a
continuación. Siempre en base a la hipótesis fractal de las
fluctuaciones que
hemos planteado.
Volvamos a fijarnos en una simple hoja
de papel que supondremos de espesor
despreciable. Si la arrugamos estamos
“fabricando” un fractal con dimensión
mayor de 2 y menor de 3, es decir
estamos sumando a su dimensión
topológica un factor dimensional tanto
mayor cuanto más intrincado sea su
arrugamiento. ¿Pero qué ocurre si
sobre la hoja lisa, sin arrugar, realizamos la
operación de enrollarla sobre uno de
sus extremos de la forma más fina
posible?: A su dimensión topológica 2
le habremos restado una de sus
dimensiones. En cierta forma, estamos
realizando una operación con
resultados opuestos al arrugamiento.
En un caso se suma un factor
dimensional y en el otro se resta.
Si sobre la expresión de la dimensión fractal
relativa aplicamos la siguiente
transformación de resta de
dimensiones, que llamaremos T:
T: Valor (dimens. topológica) --> Valor (dimens. topológica – coef.
dimensional),
obtenemos la siguiente expresión para
un universo con el mismo valor de
dimensiones enrolladas que de
coeficiente dimensional:
Dim. fractal relativa = (dimens.
topológica)/(dimens. topológica – coef. dimensional).
Si a esta expresión le igualamos el
valor (-1) encontramos que el resultado
anómalo obtenido se correspondería al
de un universo con 6 dimensiones
enrolladas y con un factor
dimensional, también, de 6.
Para un factor dimensional 6, en un
universo tridimensional “sin dimensiones
enrolladas”, obtendríamos una
dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas
de valor 9, y su dependencia sería
proporcional a la raíz cúbica de la distancia
(no a la inversa de la misma). El
vacío no sería, desde luego, vacío y las
fluctuaciones cuánticas aumentarían
con la distancia e impedirían la más
mínima estabilidad imprescindible para formar estructuras
estables de materia.
Conclusión
La dimensión fractal de la
energía de las fluctuaciones es 9, lo que le permite
ocupar un espacio de 9
dimensiones: las 3 ordinarias más las 6 compactadas.
Esa especial geometría de
dimensiones ordinarias/compactadas determina la
dependencia de la energía
con el inverso de la distancia, permitiendo la
estabilidad y la
apariencia vacua del vacío cuántico. La geometría adoptada por nuestro universo
debió ser determinante en la propia naturaleza del cuanto: ¿Cómo sería un
universo con un cuanto de energía, por ejemplo, en lugar del nuestro que está
definido por el cuanto de acción [energíaxtiempo] ?
The fractal dimension of the energy of fluctuations is 9, allowing you to
occupy a space of nine dimensions: the three regular 6 more compacted.
This special geometry of ordinary dimensions / compacted determines
energy dependence of the inverse distance, allowing
vacuous stability and appearance of the quantum vacuum. The geometry adopted by our universe must be decisive in the very nature of the quantum: What would a universe with a quantum of energy, for example, instead of our own which is defined by the quantum of action [energy x time]?
The fractal dimension of the energy of fluctuations is 9, allowing you to
occupy a space of nine dimensions: the three regular 6 more compacted.
This special geometry of ordinary dimensions / compacted determines
energy dependence of the inverse distance, allowing
vacuous stability and appearance of the quantum vacuum. The geometry adopted by our universe must be decisive in the very nature of the quantum: What would a universe with a quantum of energy, for example, instead of our own which is defined by the quantum of action [energy x time]?
Como se
comenta en el abstract, se ha utilizado un instrumento matemático
muy
sencillo sobre propiedades básicas, pero esenciales, de las fluctuaciones
cuánticas.
La conclusión es discutible, pero lógica en base a las premisas adoptadas y
puede ayudar a dar un nuevo enfoque “geométrico” sobre el cuanto.
Bibliografía
[1] B.Mandelbrot :Los
objetos fractales. Tusquets Editores,Barcelona,1987.
[2] J.S. Ruiz Fargueta:
El sorprendente vacío cuántico. Revista Elementos
(Benemérita
Universidad Autónoma de Puebla) nº 53 ,2004, pp.52-53.
[3] J.S. Ruiz Fargueta:
“Estabilización del vacío cuántico y dimensiones
http://cabierta.uchile.cl/revista/23/educacion/educacion.html (enlace roto)